Derivadas EJ 14 - Derivabilidad y Continuidad

Enunciado

Demostrar que la función f(x)=|x-6| es continua en x = 6 y no es derivable en en dicho punto. Encontrar una fórmula para f ' . Graficar f y f ' en un mismo par de ejes.

Continuidad y Derivabilidad

Lo cual implica las siguientes 3 condiciones :

En consecuencia existen casos de discontinuidades :

Evitable : existe limite finito en el punto, pero no se verifica la 3er condición.

Esencial : no existe limite finito en el punto

Para que una función sea derivable en un punto tiene que cumplir 2 condiciones :

1-Ser continua

2-Las derivadas laterales tienen que ser iguales

........................................................................................

Respuesta

¿Es continua en x=6?

La función f(x)=|x-6| se puede escribir como una función a trozos

Es decir la función podemos separarla en dos partes :

........................................................................................

Si existe

........................................................................................

Si existe

........................................................................................

Si, en ambos casos nos dio cero

Respuesta : Como se cumplen las tres condiciones podemos decir que f(x) = |x-6| es continua en x=6.

........................................................................................

Derivadas Laterales (Definición 1)

Derivadas Laterales (Definición 2)

Para ambas:

........................................................................................

¿Es derivable en x=6?

Como las primeras 3 condiciones ya la verificamos solo nos queda ver si las derivadas laterales son iguales :

Forma 1

Forma 2

Respuesta : Como las derivadas laterales no nos dieron igual entonces podemos decir que f(x) = |x-6| no es derivable en x=6.

........................................................................................

Tabla de Derivadas para este Problema