Transformaciones Lineales EJ - 16 ¿Es Posible Hallar la Transformación Lineal?

Enunciado

¿Es posible hallar una transformación lineal f:R3→R3 tal que f(1,-1,2)=(0,3,1) , f(1,1,-4)=(0,-4,1) y f(0,-2,6)=(0,7,0)? De no existir, justificar la respuesta.

Respuesta

Nosotros sabemos que :

Para resolver este tipo de ejercicio lo primero que tenemos que hacer es fijarnos que los vectores que pertenecen al conjunto de salida (a los que le aplicamos la transformación) generen todo el espacio al que pertenecen.

Por ejemplo en este caso tenemos tres vectores que parten de R3, entonces la única forma de que estos tres vectores generen todo el espacio al que pertenecen (R3) es que los tres vectores sean linealmente independientes entre si. 

Si existiera el caso que nos pidan hallar una transformación que vaya de R3→R3 y que solo nos den la transformada de dos vectores tendríamos que hallar un tercer vector que sea L.I con los dos que nos dan como dato.

Entonces para este ejercicio simplemente verificamos que los tres vectores sean L.I para que generen todo R3 ya que la transformación que nos piden hallar parte en R3 :

Para verificar si son L.I o L.D hacemos una combinación lineal igualada al vector nulo, luego utilizamos el método de Gauss-Jordan

Luego igualamos componente a componente para armar un sistema de ecuaciones :

Ahora resolvemos el sistema por el método de Gauss-Jordan :

Por los rangos determinamos que el sistema es un S.C.I (Sistema Compatible Indeterminado), por los cual los tres vectores son Linealmente Dependientes entre si ya que:

A' = Matriz Ampliada                            A = Matriz                               n=numero de incognitas 

En este caso :

Esto quiere decir que el conjunto de estos tres vectores generaran un plano y no todo el espacio de R3 como nosotros necesitamos. Por lo cual antes de continuar debemos completar el conjunto para que sea L.I, es decir que este conformados por 3 vectores linealmente independientes entre si :

Observación

Existe la transformación lineal f , pero no es única: {(1,-1,2);(1,1,-4);(0,-2,6)}, no es base para R3 

Vemos como el 3er vector se puede escribir como la resta de los otros dos, es por eso que el conjunto es L.D. Para definir alguna transformación lineal, basta con completar el conjunto {(1,-1,2);(1,1,-4)}, a una base para R3 y determinar el transformado de dicho vector. 

Completamos la base : si quitamos el vector (0,-2,6) de la matriz ampliada del paso anterior , vemos que en el ultimo paso nos quedaría esto :

Nosotros sabemos que para que 3 vectores sean L.I tengo que poder pivotear 3 veces en una matriz 3x3, hasta el momento pivoteamos 2 veces y nos falta una, es decir, que en la ultima columna tengo que agregar un vector que me permita pivotear una tercera vez, en este caso nosotros vamos a elegir al versor (0,0,1) :

Por lo cual el conjunto nos quedaría :

Definimos la transformación del vector que agregamos, podemos elegir la que queramos. Sin embargo para hacer las cosas mas sencillas vamos a decir que la transformada del vector (0,0,1) es el vector nulo :

Una vez que que tenemos nuestro conjunto de vectores es L.I , el siguiente paso es hacer una combinación lineal a un vector genérico :

Luego igualamos componente a componente para armar un sistema de ecuaciones :

Ahora resolvemos el sistema por el método de Gauss-Jordan :

Por lo cual nos queda que :

Con todo esto ya podemos responder el problema. Armamos otra combinación lineal a un vector genérico :

Aplicamos la transformación a ambos lados de la igualdad :

Distribuimos la transformación a los 3 vectores (los parámetros quedan afuera ya que son escalares no son vectores, la transformación se la aplicamos a los vectores no a los escalares) :

Con los datos que tenemos reemplazamos la transformación de los vectores por su transformada :

Ahora reemplazamos los tres parámetros por los valores que nos habían dado :

Y resolvemos : 

Por lo cual tenemos que la respuesta es que si se puede hallar una transformación lineal (infinitas) , y una es :