Derivadas EJ 17 - Derivabilidad y Continuidad

Enunciado

Determinar los valores de “a” y “b” para que la función f(x) sea continua y derivable en [-2; 3] Siendo

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Continuidad en un Intervalo Cerrado [a,b] 

*Una función es continua en un intervalo abierto si lo es para todos los números que pertenecen a ese intervalo. 

Para que una función sea continua en un intervalo cerrado debe cumplir las siguientes condiciones

Derivabilidad en un Intervalo Cerrado [a,b] 

*Una función es derivable en un intervalo abierto si lo es para todos los números que pertenecen a ese intervalo. 

Para que una función sea derivable en un intervalo cerrado debe cumplir las siguientes condiciones

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       Respuesta 

¿Es continua en x=2?

El único punto en el cual debemos prestar especial atención para que la función sea continua en todo el dominio (incluyendo el intervalo que nos interesa) es en x=2.

Para que la función sea continua en ese punto se tienen que cumplir las siguientes condiciones :

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Si existe

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Si queremos que sea continua en x=2 los limites laterales tienen que dar lo mismo, por lo cual los igualamos y despejamos alguna de las variables:

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¿Es derivable en x=2?

El único punto en el cual debemos prestar especial atención para que la función sea derivable en todo el dominio (incluyendo el intervalo que nos interesa) es en x=2.

Para que la función sea derivable en ese punto se tienen que cumplir las siguientes condiciones :

Es decir :

1-Ser continua

2-Las derivadas laterales tienen que ser iguales

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Derivadas Laterales (Definición 1)

Derivadas Laterales (Definición 2)

Para ambas:

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Con los datos que buscamos podemos armar un sistema de ecuaciones para despejar ''a'' y ''b'' :

Lo cual si resolvemos nos queda que :

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Comprobamos

Nos vamos a asegurar de que con los valores que obtuvimos se cumplen todas las condiciones para que la función sea derivable en el intervalo :

Continuidad

El punto que debemos prestar atención para ver si la función es continua en (a,b) es en x=2. Así que en ese punto verifico la continuidad :

Si existe

Si existe

Se verifican las 3 condiciones para que en x=2 la función sea continua, por lo cual podemos decir que la función es continua en (-2,3)

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Se verifica

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Se verifica

Respuesta : verificamos las 3 condiciones de la continuidad en un intervalo cerrado [a,b] por lo cual podemos decir que f(x) es continua en [-2,3]

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Derivabilidad

El punto que debemos prestar atención para ver si la función es derivable en (a,b) es en x=2. Así que en ese punto verifico la derivabilidad :

Como ya verificamos que es continua en ese punto solo nos queda ver si las derivadas laterales son iguales.

Se verifica

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Si existe

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Si existe

Respuesta : verificamos las 3 condiciones de la derivabilidad en un intervalo cerrado [a,b] por lo cual podemos decir que f(x) es derivable en [-2,3]

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