Interpretación Geométrica de la Derivada - Relación Entre la Derivabilidad y la Continuidad

Interpretación Geométrica de la Derivada

La derivada de una función en el punto x=xo mide la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto [xo,f(xo)], es decir que mide la tangente trigonométrica del angulo que forma la recta tangente a la curva en dicho punto con el semieje positivo de las x.

Ejemplo

Lo que significa que la recta tangente a la curva en (1,1) tiene pendiente 2.

Para cada valor de xo la recta tangente a la parábola es distinta y cambia de pendiente. La derivada en cada punto mide las distintas pendientes , lo cual permite calcular distintos ángulos que las rectas tangentes forman con el semieje positivo de las x.

Que una función sea derivable en un punto implica, desde el punto de vista geométrico, que la curva admite recta tangente en ese punto.


Relación Entre la Derivabilidad y la Continuidad

Si f es derivable en un punto x=xo entonces es continua en x=xo

f es derivable => f es continua

Desde el punto de vista geometrico significa que si una curva admite recta tangente en un punto , entonces es continua en ese punto.

Si f no es continua entonces no es derivable

La derivabilidad asegura la continuidad de la función, pero la continuidad no asegura la derivabilidad. Como veremos mas adelante, hay funciones que son continuas en un punto y no son derivables en el, como por ejemplo f(x)=|x| en el origen.