Vectores Geométricos - Que Son y Para Que Sirven - Vectores Equivalentes

Vectores Geométricos - Que Son y Para Que Sirven 

¿ Por que son importantes los vectores ?

Por que se usan mucho. La matemática no es otra cosa que una herramienta para resolver problemas reales de física, y muchos de estos problemas (casi todos) se resuelven mucho mas fácil con vectores. 

Magnitudes Escalares : Por ejemplo, las distancias y los tiempos son magnitudes escalares. Si me preguntan cuanto tarda una hoja en caerse desde la rama del árbol hasta el piso yo respondo 5 segundos. Y si me preguntan a que distancia llega una bala de cañón yo respondo 5 kilómetros.

¿Que tienen de común estas dos respuestas? . Fíjate que las dos incluyen un numero (un escalar) y una unidad (segundos, kilómetros) y nada mas.

A eso se le llama magnitud escalar , cuando solamente hace falta un escalar para dar la información completa. Algunos ejemplos son las distancias, los tiempos, la temperatura, la masa y muchos mas.

Magnitudes Vectoriales : Hay otras magnitudes en las cuales no alcanza con un solo escalar ; estas en tu casa y le preguntas a tu hermano donde esta el control, y te dice ''a tres metros''. Hay muchos lugares a tres metros :

La respuesta correcta seria ''a tres metros a la izquierda'' :

O sea que para dar una posición , ademas de un numero hace falta una dirección. Por eso decimos que la posición es una magnitud escalar. Y pasa lo mismo con magnitudes físicas como las velocidades o las fuerzas .

Definición de un vector

Un vector en R2 o R3 es una ''flecha'' entre dos puntos, uno llamado origen y otro llamado extremo, que lo determinan completamente. O sea que si fijamos el origen y el extremo, hay un solo vector entre esos dos puntos.

Los vectores tienen tres características principales :

Modulo o Norma : De alguna forma nos dice cuanto mide el vector. Por eso se lo llama longitud del vector.

Dirección : Nos dice sobre que recta esta ubicado el vector, por ejemplo, si es vertical u horizontal.

Sentido : Esto no tiene secreto, es exactamente lo que dice el nombre. Nos dice si la ''flecha'' apunta para adelante o para atrás (o para arriba-abajo).

R2

R3

Como vimos en la definición, para decir cuanto vale un vector , tenemos que dar el origen y el extremo. Así por ejemplo, el vector AB es el que tiene origen en el punto A y extremo en el punto B.

Vectores Equivalentes (Equipolentes - Vectores Libres)

Se dice que dos vectores son equivalentes si tienen el mismo modulo, dirección y sentido.

¿Pero si tienen todo eso iguales, no son el mismo vector?

No, acordate que cada vector esta definido por su origen y su extremo :

Los vectores u,v,w,a y b son equivalentes. No tienen el mismo origen ni extremo, pero fíjate que la longitud, dirección y sentido son iguales.

¿Sirven de algo los vectores equivalentes?
Si, porque muchas a veces lo único que nos interesa de un vector es su longitud, dirección y sentido. Entonces para ese caso es como si fueran todos iguales y me puedo manejar con cualquiera de los cinco vectores.
Lo mas cómodo siempre es trabajar con vectores que tengan su origen en el centro de coordenadas.

Importante

Si todos nos ponemos de acuerdo y ponemos el origen de todos los vectores en un mismo punto (centro de coordenadas), solo necesitamos decir cual es el extremo para definir el vector. Por eso es lo mismo hablar del punto P que del vector OP (en realidad como el origen ya sabemos que es el centro de coordenadas, podemos llamarlo directamente vector P)

¿Como hago para darme cuenta si dos vectores son equivalentes?

Muy simple, todo lo que hay que hacer es restar el extremo menos el origen, componente a componente.

Como no nos dio el mismo vector, no son equivalentes. Solamente si nos queda el mismo vector podemos decir que son equivalentes.