Transformaciones Lineales EJ - 9 ¿Es una Transformación Lineal? - Propiedades de las Transformaciones Lineales

Tenemos la siguiente transformación que va de R2x2 a R tal que nos devuelve la traza de la matriz.

Traza de la matriz : suma de todos los elementos la diagonal principal de una matriz.

Y nos preguntan si esta transformación es una transformación lineal. Para que una transformación sea lineal debe cumplir las siguientes dos condiciones :


Como nuestra transformación parte en R2x2, las matrices serán matrices de 2x2 :

1ra condición

Para demostrar la primera condición comenzamos con f(u+v) e intentaremos llegar a f(u) + f(v) . Primero resolvemos u+v , como es suma de matrices sumamos componente a componente.

Luego le aplicamos la transformación (suma de los elementos de la diagonal) :

Y como vemos , nos queda la transformaciones de ambas matrices (U y V) :

Por lo cual llegamos a la conclusión de que la primera condición se cumple :

2da condición

Para la segunda condición comenzamos por resolver la multiplicación λ (escalar) por la matriz u, como es la multiplicación de un escalar por una matriz multiplicamos λ por cada componente de la matriz u.

Ahora resolvemos la transformación :

Podemos sacar λ como factor común :

Y como vemos, lo que nos queda dentro del paréntesis no es otra cosa que f(u) :

Por lo cual llegamos a la conclusión de que la segunda condición también se cumple :

Respuesta

Como se cumplen ambas condiciones, entonces podemos decir que  esta transformación si es una transformación lineal. 👍