Transformaciones Lineales EJ - 11 ¿Es una Transformación Lineal? - Propiedades de las Transformaciones Lineales

Tenemos la siguiente transformación que va desde los polinomios de grado 2 a los polinomios de grado 1 tal que :

Y nos preguntan si esta transformación es una transformación lineal. Para que una transformación sea lineal debe cumplir las siguientes dos condiciones :




Como nuestra transformación parte en los polinomios de grado 2, U y V serán polinomios de grado 2 :

1ra condición

Para demostrar la primera condición comenzamos con f(u+v) e intentaremos llegar a f(u) + f(v) . Primero resolvemos u+v :

Luego le aplicamos la transformación :

Y como vemos , nos queda la transformaciones de ambos polinomios (U y V) :

Por lo cual llegamos a la conclusión de que la primera condición se cumple :

2da condición

Para la segunda condición comenzamos por resolver la multiplicación λ (escalar) por el polinomio u :

Ahora resolvemos la transformación :

Podemos sacar λ como factor común :

Y como vemos, lo que nos queda dentro del paréntesis no es otra cosa que f(u) :

Por lo cual llegamos a la conclusión de que la segunda condición también se cumple :

Respuesta

Como se cumplen ambas condiciones, entonces podemos decir que  esta transformación si es una transformación lineal. 👍