Transformaciones Lineales EJ - 12 ¿La Información dada es Suficiente?

Enunciado

Sea la transformación lineal f:R3→R3 de la que se conoce que f(1,-1,2)=(0,3,1) y f(1,1,0)=(1,2,-1) responder las siguientes cuestiones justificando en cada caso: 

a. La información dada, ¿es suficiente para hallar f(2,0,2)?

b. Con la información dada, ¿es posible hallar los transformados de todos los vectores de la forma (a,b,c)? En caso negativo, indicar las características de los vectores que sí se pueda hallar f(a,b,c)

Punto A

Nosotros sabemos que para que una transformación sea lineal debe cumplir las siguientes condiciones :


Entonces para responder la pregunta del apartado A vamos a usar estas condiciones como primicia.

Una de las cosas que podemos notar es que si sumamos el vector (1,-1,2) con (1,1,0) obtenemos el vector (2,0,2) :

También a cada uno de estos vectores podemos nombrarlos :

Y de esta forma ahora podemos escribir la primera condición :

Reemplazando los datos que nos dicen en el enunciado :

Por lo cual la respuesta es :

Punto B

No es posible escribir cualquier vector (a,b,c) ya que el conjunto :

No es una base de R3, ya que solo tengo dos vectores linealmente independientes y para que sea una base de R3 necesitamos tres vectores L.I (que no tenemos).

Bien, como este conjunto no genera todo R3 tenemos que averiguar que nos generan, obviamente, al ser dos vectores L.I de R3 nos van a generar un plano, por lo cual tenemos que hallar cual es ese plano.

¿Como hallamos lo que generan?

Para hallar el plano que genera el conjunto tenemos que hacer una combinación lineal a un vector genérico :

Luego igualamos componente a componente para armar un sistema de ecuaciones :

Ahora resolvemos el sistema por el método de Gauss-Jordan :

Ya no podemos pivotear mas, y como vemos nos quedo una fila de ceros. Esa fila con ceros nos va a decir el plano que generan esos dos vectores, ya que es la única fila que nos impone una condición :

De esta ecuación despejamos una variable (cualquiera) en este caso X y nos queda la condición de que X=Y+Z. Ahora con esta condición podemos armar nuestro vector genérico :

X = Y+Z

Y = Como no tenemos ninguna condición para Y entonces simplemente queda Y

Z= Como no tenemos ninguna condición para Z entonces simplemente queda Z

NOTA : comprobar que ambos vectores pertenecen a este vector genérico.