Transformaciones Lineales EJ - 4 ¿Es una Transformación Lineal? - Propiedades de las Transformaciones Lineales

Tenemos la siguiente transformación que va de R2 a R2 tal que, a la primera componente se le resta 1 y a la segunda componente se le suma 2.

Y nos preguntan si esta transformación es una transformación lineal. Para que una transformación sea lineal debe cumplir las siguientes dos condiciones :

Como nuestra transformación parte en R2, los vectores serán vectores de R2.

1ra condición

Para demostrar la primera condición comenzamos con f(u+v) e intentaremos llegar a f(u) + f(v) . Primero resolvemos u+v , como es suma de vectores sumamos componente a componente.

Luego le aplicamos la transformación a (u1+v1 , u2+v2) , como vimos mas arriba, a la primera componente se le resta 1 y a la segunda componente se le suma 2.

Ahora este vector que nos queda lo podemos descomponer como la suma de dos vectores, es decir, un vector que contenga las componentes de u y otro que contenga las componentes de v . Pero en este caso, el -1 y el 2 no podemos distribuirlos a los dos vectores que nos quedan, ya que al estar el 1 restando y el 2 sumando no se pueden distribuir. En este ejemplo se irán con el vector de componentes de u.

Como vemos, si sumamos estos dos vectores obtenemos el paso anterior. Ahora bien, si observamos con atención podemos ver que el primer vector es f(u), ya que a la primera componente se le resta 1 y a la segunda componente se le suma 2. El segundo vector es simplemente v, ya que esta formado por v1 y v2.

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Respuesta

Como la primera condición no se cumple no nos tomamos la molestia de comprobar la segunda condición, ya que para que sea transformación lineal debe cumplir ambas condiciones. Como la primera condición no se cumple ya podemos decir que esta transformación no es una transformación lineal.