Transformaciones Lineales EJ - 8 ¿Es una Transformación Lineal? - Propiedades de las Transformaciones Lineales

Tenemos la siguiente transformación que va de R3 a R3 tal que :

Primera componente : la primera componente se transforma en la suma de la primera mas dos veces la segunda.

Segunda componente : la segunda componente se transforma en la primera componente negativa.

Tercera componente : la tercera componente se transforma en la suma de la primera y segunda componente.

Y nos preguntan si esta transformación es una transformación lineal. Para que una transformación sea lineal debe cumplir las siguientes dos condiciones :

Como nuestra transformación parte en R2, los vectores serán vectores de R2 :

1ra condición

Para demostrar la primera condición comenzamos con f(u+v) e intentaremos llegar a f(u) + f(v) . Primero resolvemos u+v , como es suma de vectores sumamos componente a componente.

Luego le aplicamos la transformación a (u1+v1 , u2+v2) :

Ahora este vector que nos queda lo podemos descomponer como la suma de dos vectores, es decir, un vector que contenga las componentes de u y otro que contenga las componentes de v .

Como vemos, si sumamos estos dos vectores obtenemos el paso anterior. Ahora bien, si observamos con atención podemos ver que el primer vector es f(u) y el segundo f(v)

Por lo cual llegamos a la conclusión de que la primera condición se cumple :

2da condición

Para la segunda condición comenzamos por resolver la multiplicación λ (escalar) por el vector u, como es la multiplicación de un escalar por un vector multiplicamos λ por cada componente del vector u.

Ahora resolvemos la transformación :

Podemos sacar la λ afuera ya que multiplica a todas las componentes :

Y como vemos, el vector que nos queda no es otro que f(u) :

Por lo cual llegamos a la conclusión de que la segunda condición también se cumple :

Respuesta

Como se cumplen ambas condiciones, entonces podemos decir que  esta transformación si es una transformación lineal. 👍