Transformaciones Lineales EJ - 3 ¿Es una Transformación Lineal? - Propiedades de las Transformaciones Lineales

Tenemos la siguiente transformación que va de R2 a R3 tal que, la primera y segunda componente se transforman en si misma, es decir no cambian, y se le agrega una tercer componente que vale cero.

Y nos preguntan si esta transformación es una transformación lineal.

Para que una transformación sea lineal debe cumplir las siguientes dos condiciones :

Como nuestra transformación parte en R2, los vectores serán vectores de R2.

1ra condición

Para demostrar la primera condición comenzamos con f(u+v) e intentaremos llegar a f(u) + f(v) . Primero resolvemos u+v , como es suma de vectores sumamos componente a componente.

Luego le aplicamos la transformación a (u1+v1 , u2+v2) , como vimos mas arriba, la primera componente queda igual, la segunda componente también queda igual, y se le agrega una tercera componente que vale cero.

Ahora este vector que nos queda lo podemos descomponer como la suma de dos vectores, es decir, un vector que contenga las componentes de u y otro que contenga las componentes de v .

Como vemos, si sumamos estos dos vectores obtenemos el paso anterior. Ahora bien, si observamos con atención podemos ver que el primer vector es f(u), ya que la primera y segunda componentes quedan igual y se le suma una tercera que vale cero, y la segunda quedo igual. Lo mismo ocurre con el segundo vector.

Por lo cual llegamos a la conclusión de que la primera condición se cumple :

2da condición

Para la segunda condición comenzamos por resolver la multiplicación λ (escalar) por el vector u, como es la multiplicación de un escalar por un vector multiplicamos λ por cada componente del vector u.

Ahora resolvemos la transformación (primera y segunda componentes se transforman en si misma, y la tercera componente es cero) :

Podemos sacar la λ afuera ya que multiplica a todas las componentes :

Y como vemos, el vector que nos queda no es otro que f(u), ya que la primera y segunda componente se transforman en si misma, y la tercera es igual a cero.

Por lo cual llegamos a la conclusión de que la segunda condición también se cumple :

Respuesta

Como se cumplen ambas condiciones, entonces podemos decir que  esta transformación si es una transformación lineal. 👍