Transformaciones Lineales EJ - 10 ¿Es una Transformación Lineal? - Propiedades de las Transformaciones Lineales

Tenemos la siguiente transformación que va de R2x2 a R tal que nos devuelve el determinante de la matriz.

Y nos preguntan si esta transformación es una transformación lineal. Para que una transformación sea lineal debe cumplir las siguientes dos condiciones :




Como nuestra transformación parte en R2x2, las matrices serán matrices de 2x2 :

1ra condición

Para demostrar la primera condición comenzamos con f(u+v) e intentaremos llegar a f(u) + f(v) . Primero resolvemos u+v , como es suma de matrices sumamos componente a componente.

Luego le aplicamos la transformación (determinante de la matriz) :

Ahora si nos damos cuenta aquí tenemos el determinante de U y el determinante de V si acomodamos esta expresión :

Como vemos, no llegamos a F(U) + F(V) , sino que llegamos a una expresión mucho mas larga en la que F(U) + F(V) esta incluida, pero para nuestra primera condición solo nos pedía F(U) + F(V), por lo cual al tener como resultado una expresión distinta a esta, podemos decir que la primera condición no se cumple ya que ''nos sobran cosas'' .

Por lo cual llegamos a la conclusión de que la primera condición NO se cumple

Respuesta

Como la primera condición no se cumple no nos tomamos la molestia de comprobar la segunda condición, ya que para que sea transformación lineal debe cumplir ambas condiciones. Como la primera condición no se cumple ya podemos decir que esta transformación no es una transformación lineal.