Transformaciones Lineales EJ - 15 ¿Es Posible Hallar la Transformación Lineal?
Enunciado
Respuesta
Nosotros sabemos que :
Ademas podemos ver que el conjunto generado por estos dos vectores es una base de R2, ya que los vectores no son proporcionales entre si, es decir, son L.I . Dos vectores L.I de R2 forman una base de R2 (generan todo R2).
Una vez que comprobamos que el conjunto de vectores es L.I , el siguiente paso es hacer una combinación lineal a un vector genérico :
Luego igualamos componente a componente para armar un sistema de ecuaciones :
Ahora resolvemos el sistema por el método de Gauss-Jordan :
Por lo cual nos queda que :
Bien, ya confirmamos que el conjunto de vectores es L.I y generan todo el espacio al que perteneces (R2), y también sabemos cuanto valen los 2 parámetros. Con todo esto ya podemos responder el problema.
Armamos otra combinación lineal a un vector genérico :
Aplicamos la transformación a ambos lados de la igualdad :
Distribuimos la transformación a los 2 vectores (los parámetros quedan afuera ya que son escalares no son vectores, la transformación se la aplicamos a los vectores no a los escalares) :
Con los datos que tenemos reemplazamos la transformación de los vectores por su transformada :
Ahora reemplazamos los tres parámetros por los valores que nos habían dado :
Y resolvemos :
Por lo cual tenemos que la respuesta es que si se puede hallar una transformación lineal, y es :
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