Derivadas EJ 16 - Derivabilidad y Continuidad

Enunciado

a) Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la siguiente función en su dominio.


b) Estudiar continuidad y derivabilidad en x=0 para: 


Continuidad y Derivabilidad
Lo cual implica las siguientes 3 condiciones :

En consecuencia existen casos de discontinuidades :

Evitable : existe limite finito en el punto, pero no se verifica la 3er condición.


Esencial : no existe limite finito en el punto

Para que una función sea derivable en un punto tiene que cumplir 2 condiciones :

1-Ser continua

2-Las derivadas laterales tienen que ser iguales


........................................................................................


Respuesta Punto A


¿Es continua en x=-1?



Si existe
........................................................................................



No existe. 

Respuesta :No existe limite finito en el punto por lo cual se presenta una discontinuidad esencial de salto finito en x=-1. No es continua en x=-1.
........................................................................................

¿Es derivable en x=-1?

Respuesta : Si f(x) no es continua en x=-1 entonces no es derivable en ese punto.

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¿Es continua en x=2?



Si existe
........................................................................................



Si existe
........................................................................................


Si, en ambos casos nos dio 4

Respuesta : Como se cumplen las tres condiciones podemos decir que f(x) es continua en x=2.

........................................................................................


Derivadas Laterales (Definición 1)


Derivadas Laterales (Definición 2)


Pora ambas:


........................................................................................

¿Es derivable en x=2?

Como las primeras 3 condiciones ya la verificamos solo nos queda ver si las derivadas laterales son iguales :



Respuesta :Como las derivadas laterales no nos dieron lo mismo entonces podemos decir que f(x) no es derivable en x=2.

........................................................................................

Respuesta Punto B

¿Es continua en x=0?



Si existe
........................................................................................



Si existe
........................................................................................


Si, en ambos casos nos dio 0

Respuesta : Como se cumplen las tres condiciones podemos decir que g(x) es continua en x=0.

........................................................................................


¿Es derivable en x=0?

Como las primeras 3 condiciones ya la verificamos solo nos queda ver si las derivadas laterales son iguales :



........................................................................................


........................................................................................

Respuesta : Como las derivadas laterales no nos dieron igual entonces podemos decir que g(x) no es derivable en x=0.

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