Transformaciones Lineales EJ - 14 ¿Es Posible Hallar la Transformación Lineal?

Enunciado

¿Es posible hallar una transformación lineal f:R3→R3 tal que f(1,-1,2)=(0,3,1) ,f(1,1,-4)=(0,-4,1) y f(1,0,-2)=(0,-1,1)? ¿Por qué?

Respuesta

Nosotros sabemos que :

Para resolver este tipo de ejercicio lo primero que tenemos que hacer es fijarnos que los vectores que pertenecen al conjunto de salida (a los que le aplicamos la transformación) generen todo el espacio al que pertenecen.

Por ejemplo en este caso tenemos tres vectores que parten de R3, entonces la única forma de que estos tres vectores generen todo el espacio al que pertenecen (R3) es que los tres vectores sean linealmente independientes entre si. 

Si existiera el caso que nos pidan hallar una transformación que vaya de R3→R3 y que solo nos den la transformada de dos vectores tendríamos que hallar un tercer vector que sea L.I con los dos que nos dan como dato.

Entonces para este ejercicio simplemente verificamos que los tres vectores sean L.I para que generen todo R3 ya que la transformación que nos piden hallar parte en R3 :

Para verificar si son L.I o L.D hacemos una combinación lineal igualada al vector nulo, luego utilizamos el método de Gauss-Jordan

Luego igualamos componente a componente para armar un sistema de ecuaciones :

Ahora resolvemos el sistema por el método de Gauss-Jordan :

Por los rangos determinamos que el sistema es un S.C.D (Sistema Compatible Determinado), por los cual los tres vectores son Linealmente Independientes ya que:

A' = Matriz Ampliada                            A = Matriz                               n=numero de incognitas 

En este caso :

Una vez que comprobamos que el conjunto de vectores es L.I , el siguiente paso es hacer una combinación lineal a un vector genérico :

Luego igualamos componente a componente para armar un sistema de ecuaciones :

Ahora resolvemos el sistema por el método de Gauss-Jordan :

Por lo cual nos queda que :

Bien, ya confirmamos que el conjunto de vectores es L.I y generan todo el espacio al que perteneces (R3),  y también sabemos cuanto valen los 3 parámetros. Con todo esto ya podemos responder el problema.

Armamos otra combinación lineal a un vector genérico :

Aplicamos la transformación a ambos lados de la igualdad :

Distribuimos la transformación a los 3 vectores (los parámetros quedan afuera ya que son escalares no son vectores, la transformación se la aplicamos a los vectores no a los escalares) :

Con los datos que tenemos reemplazamos la transformación de los vectores por su transformada :

Ahora reemplazamos los tres parámetros por los valores que nos habían dado :

Y resolvemos : 

Por lo cual tenemos que la respuesta es que si se puede hallar una transformación lineal, y es :