Problemas Resueltos

Enunciado ¿Es posible hallar una transformación lineal f : R 3 → R 3 tal que f (1, - 1,2)=(0,3,1) y  f ( - 2,2, - 4)=(0, - 6, - 1) ? ¿Por qué? Respuesta Nosotros sabemos que : Ademas de eso sabemos que para que una transformación sea lineal debe cumplir las siguientes condiciones : Otra cosa que podemos notar en este ejercicio es que los vectores que nos dan son proporcionales ya que el segundo vector es el primero multiplicado por menos dos : Por lo cual podemos empezar por fijarnos si se verifica la segunda condición siendo: Ahora si pasamos a plantear la segunda condición : Ahora simplemente resolvemos las transformadas con los datos que nos dieron en el enunciado : Y como vemos , la condición no se cumple : Por lo cual podemos decir que no es posible hallar un T.L   f : R 3 → R 3   tal que  f (1, - 1,2)=(0,3,1)  y  f ( - 2,2, - 4)=(0, - 6, - 1)  .

Enunciado Sea la transformación lineal f : R 3 → R 3 de la que se conoce que f (1, - 1,2)=(0,3,1) y  f (1,1,0)=(1,2, - 1) responder las siguientes cuestiones justificando en cada caso:   a. La información dada, ¿es suficiente para hallar f (2,0,2) ? b. Con la información dada, ¿es posible hallar los transformados de todos los vectores de la forma ( a , b , c ) ? En caso negativo, indicar las características de los vectores que sí se pueda hallar f ( a , b , c ) Punto A Nosotros sabemos que para que una transformación sea lineal debe cumplir las siguientes condiciones : Entonces para responder la pregunta del apartado A vamos a usar estas condiciones como primicia. Una de las cosas que podemos notar es que si sumamos el vector (1,-1,2) con (1,1,0) obtenemos el vector (2,0,2) : También a cada uno de estos vectores podemos nombrarlos : Y de esta forma ahora podemos escribir la primera condición : Reemplazando ...

Tenemos la siguiente transformación que va desde los polinomios de grado 2 a los polinomios de grado 1 tal que : Y nos preguntan si esta transformación es una  transformación lineal .  Para que una transformación sea lineal debe cumplir las siguientes dos condiciones : Como nuestra transformación parte en los polinomios de grado 2, U y V serán polinomios de grado 2 : 1ra  condición Para demostrar la primera condición comenzamos con  f(u+v)  e intentaremos llegar a  f(u) + f(v)   . Primero resolvemos  u+v : Luego le aplicamos la transformación : Y como vemos , nos queda la transformaciones de ambos polinomios  (U y V)  : Por lo cual llegamos a la conclusión de que la primera condición se cumple : 2da  condición Para la segunda  condición  comenzamos por resolver la  multiplicación   λ  (escalar) por el polinom...

Tenemos la siguiente transformación que va de R2x2 a R tal que nos devuelve el determinante de la matriz. Y nos preguntan si esta transformación es una  transformación lineal .  Para que una transformación sea lineal debe cumplir las siguientes dos condiciones : Como nuestra transformación parte en R2x2, las matrices serán matrices de 2x2 : 1ra  condición Para demostrar la primera condición comenzamos con  f(u+v)  e intentaremos llegar a  f(u) + f(v)  . Primero resolvemos  u+v  , como es suma de matrices sumamos componente a componente. Luego le aplicamos la transformación  (determinante de la matriz)  : Ahora si nos damos cuenta aquí tenemos el determinante de U y el determinante de V si acomodamos esta expresión : Como vemos, no llegamos a F(U) + F(V) , sino que llegamos a una expresión mucho mas larga en la que  F(U) + F(...

Tenemos la siguiente transformación que va de R2x2 a R tal que nos devuelve la traza de la matriz. Traza de la matriz : suma de todos los elementos la diagonal principal de una matriz . Y nos preguntan si esta transformación es una  transformación lineal .  Para que una transformación sea lineal debe cumplir las siguientes dos condiciones : Como nuestra transformación parte en R2x2, las matrices serán matrices de 2x2 : 1ra  condición Para demostrar la primera condición comenzamos con  f(u+v)  e intentaremos llegar a  f(u) + f(v)  . Primero resolvemos  u+v  , como es suma de matrices sumamos componente a componente. Luego le aplicamos la transformación (suma de los elementos de la diagonal) : Y como vemos , nos queda la transformaciones de ambas matrices (U y V) : Por lo cual llegamos a la conclusión de que la primera condición se cumple : ...